在这个可怕的疾病爆发和相应的住院治疗和封锁对人,大多数人往往有一件事在他们的脑海里:生存和继续生活。

下面是一种对它进行数学建模的快速方法:

首先,我们需要定义一个需要检查的事件。例如,医院的管理层想知道住院的COVID患者会怎么样?

在这种情况下,该事件是住院患者的治疗结果。潜在的结果可能是生存或死于疾病。

此外,可能还有其他情况下,患者决定停止治疗,结束强制隔离,因此在给定时间范围内无法知道结果。这些通常称为”正确审查”情况。这些病人需要从剩余的幸存患者中计算出来,以及那些在任何给定时间内无法存活的患者。

还有另一类情况被称为”左审查”。这方面的一个例子可能是患者谁已经从同一疾病恢复,因此,他们可以有一些免疫力产生从以前的感染。 其他的例子可能是病人住院,谁在开始这项研究之前死亡。

在数据建模中,必须记录每个审查事件。通常,使用两个指示变量的组合进行建模。(即使一个是好的,但这增加了方便。

1. 记录生存或其他

患者 ID 时间 结果 (幸存 -0, 屈服 – 1, 左治疗中途 – 3) 审查事件
1 第 1 天 0 0
1 第2天 0 0
1 …第243天 1 0
2 第 1 天 0 0
2 ..第35天 3 1

因此,数据记录器可以记录每个患者的观察情况,如下所示,患者 ID 可以进一步聚合这些观察。

更是如此。

2. 定义生存能力

比比有100个病人。病人生存和死于疾病的可能性是多少?我们可以从两个方面来研究这个问题。长期和短期。

从长远来看,还需要计算在给定的”关键”时间段内生存的可能性,以便看到两者之间的对比。

在分析短期内的生存能力时,重要的是要知道给定患者在下次瞬间屈服的可能性。

这实质上是对在任何时刻对长期生存能力构成的威胁或危险的评估。

显然,谁面临危险?我们还需要对幸存的患者人口进行统计。请参阅下表。

幸存下来的病人所面临的危险相当于长期存活的1个可能性。这种危险 随着时间 而蔓延。

因此,短期指标是上述 的导数。

因此,如果长期生存能力被F(t)表示为时间函数,那么对它的短期威胁(又名发病率)是d/dt(1-F(t)=-F’(t)。

对比比称为危险函数 ,hz(t), 采用 -F’(t)/F(t)格式。

微积分表明,长期生存能力函数F(t)相当于累积威胁函数HZ(t)的负指数函数。

即 F(t)= exp(-HZ(t))

这些一般数学关系用于两种众所周知的生存能力分析技术,即卡普兰-迈尔和纳尔逊-艾伦

这两种技术可以一次计算,如下所示:

结果(幸存-0,屈服-1) 审查事件
1 243 天 1 0
2 45 天 0 1
3 63 天 1 0

请注意,该列表在时间 上排序,这应该是显而易见的。

3. V是治疗时间传播的生存能力函数

相反,我们还可以可视化累积 危险函数:-日志(F(t)

累计 HZ(t)
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患者 ID 时间 累积计数
(患者因疾病而受感染)
审查指示器(指示停止治疗) 生存性函数作为所有案例的联合概率分布
1 128 天 1 0 100 ( 1/100)
±0.01

exp(-1/100)
±0.9905
91 135 天 1 0 99 (1/99 +1/100) exp(-(1/99 +1/100)
57 137 天 2 0 98 (1/100 +1/99 +1/98) exp(-(1/100 +1/99 +1/98))
等等…