弹奏的分离定理说, 独立解的零点方程的形式
互生。也就是说, 在一个解决方案的任意两个连续零之间, 另一个解决方案恰好有一个零。这是一个重要的定理, 因为这种形式的许多微分方程都出现在应用中。
如果我们让p( x) = 0 和q( x) = 1, 那么sin (x) 和 cos (x) 是独立的解决方案, 我们知道他们的零交错。sin的零 (x) 是形式nπ, 而 cos (x) 的零是 (n + 1/2) π的倍数。
不太明显的是, 如果我们采取两种不同的正弦和余弦线性组合, 只要它们不成正比, 那么它们的零交错也一样。例如, 我们可以采取f(x) = 3 sin (x) + 5 cos (x) 和g(x) = 7 sin (x)-11 cos (x)。这些也是同一个微分方程的线性独立解, 因此, 弹奏分离定理说它们的根必须交错。
如果我们采取p(x) = 1/ x和q(x) = 1-(ν/x) ²然后我们的微分方程成为贝塞尔方程, 贝塞尔函数Jν和Y ν是独立的解决方案。下面是一个小 Python 代码, 用于显示当ν = 3 时零是如何交替的。
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import linspace
from scipy.special import jn, yn
x = linspace(4, 30, 100)
plt.plot(x, jn(3, x), "-")
plt.plot(x, yn(3, x), "-.")
plt.legend(["$J_3$", "$Y_3$"])
plt.axhline(y=0,linewidth=1, color="k")
plt.show()